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拓扑排序(Topological Sorting)

发布日期:2024-05-20 来源: 网络 阅读量(

在图论中,拓扑排序(Topological Sorting)是一个有向无环图(DAG, Directed Acyclic Graph)的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件:

  1. 每个顶点出现且只出现一次。
  2. 若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径,那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

有向无环图(DAG)才有拓扑排序,非DAG图没有拓扑排序一说。

例如,下面这个图:



它是一个 DAG 图,那么如何写出它的拓扑排序呢?这里说一种比较常用的方法:

  1. 从 DAG 图中选择一个 没有前驱(即入度为0)的顶点并输出。
  2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
  3. 重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。



于是,得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。

通常,一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列。


拓扑排序通常用来“排序”具有依赖关系的任务。

比如,如果用一个DAG图来表示一个工程,其中每个顶点表示工程中的一个任务,用有向边 <A,B> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1"> </script>表示在做任务 B 之前必须先完成任务 A。故在这个工程中,任意两个任务要么具有确定的先后关系,要么是没有关系,绝对不存在互相矛盾的关系(即环路)。


根据上面讲的方法,我们关键是要维护一个入度为0的顶点的集合

图的存储方式有两种:邻接矩阵和邻接表。这里我们采用邻接表来存储图,C++代码如下:

 

测试如下DAG图:



 

输出结果是 4, 5, 2, 0, 3, 1。这是该图的拓扑排序序列之一。

每次在入度为0的集合中取顶点,并没有特殊的取出规则,随机取出也行,这里使用的。取顶点的顺序不同会得到不同的拓扑排序序列,当然前提是该图存在多个拓扑排序序列。

由于输出每个顶点的同时还要删除以它为起点的边,故上述拓扑排序的时间复杂度为 O(V+E)









另外,拓扑排序还可以采用 深度优先搜索(DFS)的思想来实现,详见《topological sorting via DFS》。


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